Форум ЗнаниО

Такой вопрос. В правильной треугольной пирамиде DABC сторона основания AB=4, а боковое ребро DC=5. На ребре DB отмечена точка K так, что BK/KD=8/17. Найти синус угла между плоскостями (AKC) и(DBC)

Для решения данной задачи нам нужно найти синус двугранного угла между плоскостями AKC и DBC.

Пусть O - центр треугольника ABC. Тогда, так как AB = BC = AC = 4 и DC = DB = DC = 5, то O является центром окружности, описанной около треугольника DBC, а также центром вписанной окружности треугольника DBC (так как треугольник DBC правильный).

Найдем радиус R описанной окружности:

R = AB / √3 = 4 / √3

Также найдем радиус r вписанной окружности:

r = AB√3 / 6 = √3 / 3

Теперь рассмотрим треугольник AOK. Он прямоугольный, так как OK⊥AC (OK - радиус вписанной окружности).

По теореме Пифагора найдем AK:

AK^2 = AO^2 - OK^2

AK^2 = (4 / √3)^2 - (√3 / 3)^2

AK^2 ≈ 4.55

AK ≈ 2.13

Рассмотрим треугольники AOK и BOK.

Они подобны по двум углам (углы AOK и BOK прямые). Коэффициент подобия равен BK / KD = 8 / 17. Значит, отношение соответствующих сторон также равно 8 / 17:

AO / BO = 8 / 17

4 / √3 / (4 / √3 + r) = 8 / 17

Откуда (4 / √3 + r) ≈ 1.90

и r ≈ 0.80

Таким образом, мы нашли синус искомого угла:

sin α = r / AO

sin α ≈ 0.42

Ответ: синус угла между плоскостями AKC и DBC равен примерно 0.42.