Форум ЗнаниО

По одному вопросу есть неопределённость. Из вершины В треугольника АВС восстановлен перпендикуляр BS к плоскости треугольника.
Найди косинус наибольшего угла треугольника АВ С, если SA = 8, SC = 17 и AC = 15.

Рассмотрим правильный тетраэдр ABSС и пусть угол между прямыми BS и AC равен $\alpha$. Тогда по теореме косинусов для треугольника АСВ имеем:

$$\cos\alpha = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2\cdot AB\cdot BC} = \frac{1+1-15^2/64}{2} = -\frac{67}{128}$$

Заметим, что угол между плоскостью АВС и АВ равен $\alpha$, поэтому косинус наибольшего угла треугольника АВС равен:

$$\cos\angle AVB = \cos(\pi/2 - \alpha) = \sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \frac{9\sqrt{399}}{256}$$

Ответ: $\frac{9\sqrt{399}}{256}$.