Форум ЗнаниО

Одна составляющая не совсем ясна. Sin 5x = - sin 3x
Запиши в поле ответа сумму корней, принадлежащихотрезку [-п,0], умноженную на 4/-п

Дано уравнение sin(5x) = -sin(3x).
Для нахождения корней данного уравнения нам нужно решить уравнение sin(5x) + sin(3x) = 0.

Используем формулу суммы синусов: sin(α) + sin(β) = 2sin((α + β) / 2) * cos((α - β) / 2).

Преобразуем уравнение sin(5x) + sin(3x) = 0:
sin((5x + 3x) / 2) * cos((5x - 3x) / 2) = 0
sin(4x) * cos(x) = 0.

Так как произведение равно нулю, то один из множителей должен быть равен нулю:
1. sin(4x) = 0 => 4x = kπ, где k - целое число.
2. cos(x) = 0 => x = (2n + 1) * π / 2, где n - целое число.

Рассмотрим периодичность sin(4x) и cos(x):
- Для sin(4x): период 2π, корни при x = k * π / 4, где k - целое число.
- Для cos(x): период π, корни при x = (2n + 1) * π / 2, где n - целое число.

Найдем пересечения корней:
1. При x = k * π / 4 и x = (2n + 1) * π / 2.
2. Подставим в уравнение и отбросим лишние корни.

Таким образом, корни уравнения sin(5x) = -sin(3x) на отрезке [-π, 0] будут соответствовать x = -π/4 и x = -3π/4.

Суммируем корни: -π/4 + -3π/4 = -4π/4 = -π.

Умножим итоговую сумму -π на 4 и поделим на -π:
4 * (-π) / -π = 4.

Ответ: 4.