Форум ЗнаниО

Хотелось бы поинтересоваться. . В треугольнике �
ABC�. проведены отрезки �
BM� к стороне �
AC� и �
AF� к стороне �
BC�. Данные отрезки пересекаются в точке �
T�. Найди отношение площади четырёхугольника �
TFCM� к площади треугольника �
ATB�, если �
=
AM=CM�, �
∠
=
∠
∠CAF=∠BAF�, �
:
=
1
:
4
AB:AC=1:4�.

Введи ответ

Для решения построим рисунок (http://bit.ly/3UrjX3L).

Так как АМ = СМ, то ВМ медиана треугольника.

Пусть Sавс = Х, тогда Sавм = Sвсм = Х/2.

Угол CАF = BAF, тогда АF биссектриса.

По условию, АВ/АС = 1/4, тогда, по свойству биссектрисы, BF/CF = 1/4.

Тогда Sacf = 4 * Sabf.

5 * Sabf + Sавс = Х.

Sавf = X/5.

АВ/АМ = 1/2, тогда ВТ/МТ = 1/2.

Тогда Sамт = 2 * Saвт.

2 * Saвт + Sавт = Х/2.

Sавт = X/6.

Sвтf = Saвf – Sавт = Х/6 – Х/5 = Х/30.

Тогда Sтfсм = Sвсм – Sвтf = Х/2 – Х/30 = 14 * Х/30 = 7 * Х/15.

Sтfсм/Sавт = (7 * Х/15) / (Х/6) = 7 * 6/15 = 14/5.

Ответ: Отношение площадей 14/5.