Форум ЗнаниО

У меня есть вопрос. 1. Найдите апофему правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна 4 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30◦.

2.  Высота КО правильной пирамиды КАВСД равна 7√3 см. Двугранный угол при стороне АД равен 30◦. Найти площадь полной поверхности пирамиды.

3. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 4 см, 13 см, 15 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если двугранные углы при основании пирамиды равны 30◦.

Для решения построим рисунок (https://bit.ly/43Z4sVg).

Рис. 1.

В равностороннем треугольнике АВС определим длину высоты, медианы и биссектрисы ВН.

ВН = АС * √3/2 = 4 * √3/2 = 2 * √3 см.

По свойству медианы треугольника ОВ = (2/3) * ВН = (4/3) * √3 см, ОН = (1/3) * ВН = (2/3) * √3 см.

В прямоугольном треугольнике КОВ, tg30 = OK/OB.

OB = ОК/tg30 = (4/3) * √3/(√3/3) = 4 см.

КН^2 = OH^2 + OK^2 = 4/3 + 16 = 52/3 = 2 * √13/√3 = (2/3) * √39.

Ответ: КН = (2/3) * √39 см.

Рис. 2

В прямоугольном треугольнике КОН угол КНО = 30, тогда КН = 2 * КО = 14 * √3 см.

ОН^2 = KH^2 – KO^2 = 588 – 147 = 441.

OH = 21 см.

Тогда АВ = ВС = СД = АД = 2 * 21 = 42 см.

Sбок = 4 * АД * КН/2 = 2 * 42 * 14 * √3 = 1176 * √3 см^2.

Sосн = АД^2 = 1764 см^2.

Sпов = S осн + Sбок = 1764 + 1176 * √3 см^2.

Рис 3.

Определим по теореме Герона площадь треугольника АВС.

Sосн = 24 см^2.

Определим радиус вписанной окружности в основание пирамиды.

R = 2 * S/(4 + 13 + 15) = 48/32 = 1,5 см.

В прямоугольном треугольнике ОКН CosKOH = OH/KH.

KH = OH/Cos30 = 1,5/(√3/2) = 3/√3 = √3 см.

Sбок = Равс * КН/2 = 32 * √3/2 = 16 * √3 см^2.

Sпов = Sосн + Sбок = 24 + 16 * √3 см^2.